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In mwbageometria, la mwbqbisettrice è il nome dato a un mwbgpiano o linea, mwbwsemiretta o mwcaretta, utilizzati per la bisezione di un'entità geometrica, come un mwcqsegmento, mwcgtriangolo, mwcwpoligono in generale o un mwdaangolo, in due parti congruenti (come dice la radice del nome mwdqbi, cioè due).

• Retta bisettrice

• Bisettrice dell'angolo

• Costruzione con riga e compasso

• Proprietà

• La bisettrice nel triangolo

• Teoremi legati alle bisettrici interne

• Formulario

• Teoremi legati alle bisettrici esterne

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

mweq Nella mwfageometria euclidea, la retta bisettrice si può caratterizzare anche come il luogo dei punti del mwfqpiano equidistanti da una coppia di mwfgrette. Se queste sono incidenti, si hanno due bisettrici perpendicolari fra loro; se, invece, sono parallele, si avrà allora un'unica bisettrice anch'essa parallela alle due e ivi compresa a metà strada.

In un mwgariferimento cartesiano, date le equazioni identificative delle due rette

mwgw a x + b y + c = 0 a ′ x + b ′ y + c ′ = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}ax+by+c=0\\a'x+b'y+c'=0\end{matrix}}}

abbiamo che mwhq A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0} rappresenta l'equazione della/delle bisettrice/i, con:

mwia A = a a 2 + b 2 ± ± a ′ a ′ 2 + b ′ 2 , {\displaystyle A={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\pm {\frac {a'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}},}

mwig B = b a 2 + b 2 ± ± b ′ a ′ 2 + b ′ 2 , {\displaystyle B={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\pm {\frac {b'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}},}

mwja C = c a 2 + b 2 ± ± c ′ a ′ 2 + b ′ 2 . {\displaystyle C={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\pm {\frac {c'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}}.}

In mwjwgeometria, la bisettrice è la semiretta che divide l'mwkaangolo in due settori mwkqcongruenti.

Può essere idealmente considerata come l'mwkwasse di simmetria dell'angolo, che divide l'angolo iniziale di ampiezza mwla α α {\displaystyle \alpha } in due angoli di eguale ampiezza mwlq α α / 2 {\displaystyle \alpha /2} .

Alcune proprietà geometriche della bisettrice:

• Le bisettrici di due mwmqangoli opposti al vertice sono semirette opposte, che giacciono sulla stessa retta.

• Analogamente, le bisettrici di due mwmwangoli esplementari sono semirette opposte. (Due angoli esplementari hanno ampiezza mwnq α α {\displaystyle \alpha } e mwng 360 ∘ ∘ − − α α , {\displaystyle 360^{\circ }-\alpha ,} quindi le due bisettrici formano un angolo di ampiezza mwnw α α / 2 + ( 360 ∘ ∘ − − α α ) / 2 = 180 ∘ ∘ {\displaystyle \alpha /2+(360^{\circ }-\alpha )/2=180^{\circ }} ).

• Le bisettrici di due mwoqangoli supplementari adiacenti sono mwogperpendicolari. (Due angoli supplementari hanno ampiezza mwpa α α {\displaystyle \alpha } e mwpq 180 ∘ ∘ − − α α , {\displaystyle 180^{\circ }-\alpha ,} quindi le due bisettrici formano un angolo di ampiezza mwpg α α / 2 + ( 180 ∘ ∘ − − α α ) / 2 = 90 ∘ ∘ {\displaystyle \alpha /2+(180^{\circ }-\alpha )/2=90^{\circ }} ).

mwqq Il problema di trovare la retta bisettrice dell'angolo formato da due rette date è un problema che si può risolvere con delle mwracostruzioni con riga e compasso. La bisettrice di un angolo può essere infatti costruita, così come mostra mwrqEuclidecite-ref-1[1], con mwsgriga e compasso secondo i seguenti passaggi:

1. Puntando il compasso nel vertice mwtq O , {\displaystyle O,} con raggio a piacere, con un arco si individuano due punti mwtg A {\displaystyle A} e mwtw B {\displaystyle B} sui lati dell'angolo.

2. Tracciando due circonferenze centrate in mwuq A {\displaystyle A} e in mwug B , {\displaystyle B,} sempre con raggio mwuw A B , {\displaystyle AB,} si trovano i punti mwva C {\displaystyle C} e mwvq C ′ {\displaystyle C'} di intersezione fra le due.

3. Si traccia infine una retta mwvw r {\displaystyle r} da mwwa O {\displaystyle O} passante per mwwq C {\displaystyle C} : questa è la bisettrice.

La bisettrice in pratica viene trovata come la perpendicolare del mwwwpunto medio di mwxa A B {\displaystyle AB} (punti 2 e 3) i cui estremi sono equidistanti dal vertice mwxq O {\displaystyle O} (punto 1).

Dimostrazione

Per verificare che la retta r {\displaystyle r} , così ottenuta, sia effettivamente la bisettrice di a O b {\displaystyle aOb} occorre dimostrare che gli angoli al vertice siano congruenti e di ampiezza β β = α α / 2 {\displaystyle \beta =\alpha /2}

I punti A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} appartengono alla medesima circonferenza con centro in O {\displaystyle O} , il che significa che O A {\displaystyle OA} e O B {\displaystyle OB} possono essere considerati come i lati congruenti di un immaginario triangolo isoscele A O B {\displaystyle AOB} , avente base AB, da cui discende per le proprietà del triangolo che gli angoli alla base sono congruenti:

O A ^ ^ B ≅ ≅ A B ^ ^ O = ( 180 ∘ ∘ − − α α ) / 2 = 90 ∘ ∘ − − α α / 2. {\displaystyle O{\widehat {A}}B\cong A{\widehat {B}}O=(180^{\circ }-\alpha )/2=90^{\circ }-\alpha /2.}

La retta r {\displaystyle r} , per la sua costruzione, è perpendicolare al punto medio di A B {\displaystyle AB} , per cui divide l'isoscele in due triangoli rettangoli, che avendo quindi due angoli e un lato congruenti, per il secondo criterio generalizzato di congruenza, avranno pure i due angoli al vertici congruenti:

a O r ≅ ≅ b O r = β β , {\displaystyle aOr\cong bOr=\beta ,}

da cui per la somma degli angoli interni:

β β + 90 ∘ ∘ + 90 ∘ ∘ − − α α / 2 = 180 ∘ ∘ , {\displaystyle \beta +90^{\circ }+90^{\circ }-\alpha /2=180^{\circ },}

β β = α α / 2. {\displaystyle \beta =\alpha /2.}

Il problema analogo in cui date due rette si cercano altre due rette che dividano l'angolo compreso in tre parti uguali (il problema della mwxwtrisezione dell'angolo) si può dimostrare essere insolubile mediante costruzioni con riga e compasso.

La bisettrice esiste e può essere costruita anche per gli mwygangoli concavi: è la semiretta opposta alla bisettrice costruita per l'mwywangolo esplementare a quello dato.

mwaamwaqLa bisettrice di un angolo convesso è il luogo dei punti equidistanti dai lati.

mwbaDimostrazione Se individuiamo due generici punti mwbg A {\displaystyle A} e mwbw B {\displaystyle B} sui lati dell'angolo tali per cui le relative distanze dalla bisettrice si intersechino in mwca R {\displaystyle R} sulla bisettrice, per verificare il teorema occorre che i segmenti mwcq A R {\displaystyle AR} e mwcg B R {\displaystyle BR} siano congruenti. Per loro definizione una distanza forma un mwdaangolo retto con la base, ragione per cui mwdq A R {\displaystyle AR} e mwdg B R {\displaystyle BR} sono anche i mwdwcateti di due distinti triangoli rettangoli, aventi mwea O R {\displaystyle OR} come mweqipotenusa e un angolo all'origine; essendo quindi le ipotenuse e, per la dimostrazione di sopra, almeno uno degli angoli acuti congruenti, per il terzo mwegcriterio di congruenza dei triangoli rettangoli, anche i cateti mwew A R {\displaystyle AR} e mwfa B R {\displaystyle BR} , ossia le distanze, risultano mwfq A R ≅ ≅ B R . {\displaystyle AR\cong BR.}

Talvolta questo teorema viene espresso in maniera generica senza precisare la natura dell'angolo, lasciando con ciò intendere che sia valido anche per gli angoli concavi, cosa però impossibile in quanto le distanze dei lati vengono proiettate in modo da essere divergenti rispetto alla bisettrice. Esiste comunque un luogo dei punti equidistanti dal lati, ma è esterno alla porzione di piano dell'angoli interessato, in quanto si trova nell'angolo esplementare a quest'ultimo, dove le distanze risultano convergenti.

Nel mwgqtriangolo, per bisettrice di un angolo non s'intende solitamente più la semiretta che lo divide, ma il tratto di questa retta che congiunge il vertice col lato opposto; si tratta dunque di un mwggsegmento di cui è possibile determinare lunghezza.

mwha Si è soliti, poi, distinguere la bisettrice a seconda se cada fuori o dentro al mwhwperimetro del triangolo considerando "interna" la bisettrice che giace internamente al perimetro, ed "esterna" quella che invece congiunge il vertice al prolungamento del lato opposto, in altre parole la bisettrice dell'angolo esterno, che è sempre esterna al perimetro del triangolo.

Vi sono inoltre diverse proprietà legate alle bisettrici:

• La bisettrice interna ed esterna del medesimo vertice formano tra loro un angolo retto, e sono entrambe equidistanti dai lati adiacenti o dai loro prolungamenticite-ref-2[2].

• In qualsiasi triangolo, le bisettrici interne si congiungono tutte e tre in un unico punto, mwkaincentro, interno al poligono ed equidistante dai lati del triangolo, mentre le bisettrici esterne si congiungono a coppie, assieme al prolungamento della bisettrice interna del terzo vertice, in un punto esterno (mwkqex-centro) al perimetro equidistante dal loro lato comune e dai prolungamenti degli altri due lati.

• la bisettrice interna e quella esterna del medesimo vertice incontrano il lato opposto e il suo prolungamento in due punti, le cui distanze dagli estremi di quest'ultimo stanno fra loro come i lati adiacenti, questa proprietà è in parte riassunta nel mwkwteorema della bisettrice.

mwmamwmqTutte le bisettrici interne s'intersecano in un unico punto, detto incentro, equidistante da ciascun lato del triangolo.

mwmwIl teorema afferma che le bisettrici interne sono segmenti concorrenti in quanto si incontrano in un unico punto all'interno del triangolo. L'unicità di tale punto è poi avvalorata anche dal fatto di essere l'mwngincentro del triangolo, ossia il centro della circonferenza inscritta nel poligono (unica per sua definizione) e quindi equidistante da tutti i lati del triangolo, condizione necessaria per appartenere contemporaneamente tutte e tre le bisettrici, i punti delle quali però sono equidistanti soltanto rispetto ai due lati dell'angolo che bisecano (e non necessariamente al terzo lato del triangolo).

Il prolungamento della bisettrice, oltre il lato opposto, e quindi all'infuori dell'area poligonale, permette poi a quest'ultima di congiungersi sempre con le bisettrici, ma esterne, degli altri vertici in un secondo punto, detto ex-centro, che ha questa volta la proprietà di essere equidistante dal lato opposto e dai prolungamenti degli altri due lati.

In un triangolo i lati adiacenti stanno fra loro come le parti distinte dalla bisettrice sul lato opposto.

Dato il triangolo mwpa A B C {\displaystyle ABC} e mwpq A L {\displaystyle AL} la sua bisettrice interna in mwpg A , {\displaystyle A,} deve valere la seguente proporzione: mwpw C A : A B = L C : L B . {\displaystyle CA:AB=LC:LB.}

mwqgDimostrazionemwqw Si considerino i triangoli mwrw A L C {\displaystyle ALC} e mwsa A B L {\displaystyle ABL} componenti mwsq A B C , {\displaystyle ABC,} avendo la stessa altezza, le loro aree staranno nel medesimo rapporto delle basi mwsg L C {\displaystyle LC} e mwsw L B {\displaystyle LB} cite-ref-3[3], i due segmenti evidenziati dalla bisettrice; date, però, le proprietà di quest'ultima, anche che in mwua L , {\displaystyle L,} i due triangoli avranno la medesima altezzacite-ref-4[4], ragione per cui le loro aree staranno ancora nello stesso rapporto delle basi ora rappresentate da mwvq C A {\displaystyle CA} e mwvg A B , {\displaystyle AB,} lati del triangolo iniziale. Essendo dunque costante entrambe le volte il rapporto ed essendo sempre le stesse aree possiamo scrivere che: mwwa C A : A B = L C : L B . {\displaystyle CA:AB=LC:LB.}

mwwgCorollario

mwxqmwxgOgni bisettrice è divisa dalle altre interne in due segmenti che stanno fra loro come i lati del vertice alle porzioni omolateralicite-ref-5[5] che individua sul lato opposto.

Poiché le bisettrici si incontrano in un unico punto e ognuna di queste evidenzi due triangoli complementari, il precedente corollario non è niente di più che una semplice applicazione del teorema ai triangoli da loro creati, e permette di evidenziare i seguenti rapporti:

mwzq

mw0g A I I L a = C A L a C = A B L a B ; {\displaystyle {AI \over IL_{a}}={CA \over L_{a}C}={AB \over L_{a}B};}

mw1a C I I L c = C A L c A = B C L c B ; {\displaystyle {CI \over IL_{c}}={CA \over L_{c}A}={BC \over L_{c}B};}

mw1g B I I L b = B C L b C = A B L b A . {\displaystyle {BI \over IL_{b}}={BC \over L_{b}C}={AB \over L_{b}A}.}

Formule geometriche:

mw2w l a = 2 b c p ( p − − a ) b + c , l b = 2 a c p ( p − − b ) a + c , l c = 2 a b p ( p − − c ) a + b . {\displaystyle l_{a}={\frac {2{\sqrt {b\,c\,p\,(p-a)}}}{b+c}},\qquad l_{b}={\frac {2{\sqrt {acp(p-b)}}}{a+c}},\qquad l_{c}={\frac {2{\sqrt {abp(p-c)}}}{a+b}}.}

Formule trigonometriche:

mw3w l a = 2 b c b + c cos ⁡ ⁡ ( α α 2 ) , l b = 2 a c a + c cos ⁡ ⁡ ( β β 2 ) , l c = 2 a b a + b cos ⁡ ⁡ ( γ γ 2 ) . {\displaystyle l_{a}={\frac {2bc}{b+c}}\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right),\qquad l_{b}={\frac {2ac}{a+c}}\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right),\qquad l_{c}={\frac {2ab}{a+b}}\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right).}

Due bisettrici esterne s'intersecano in un punto, detto ex-centro, equidistante dal lato comune e dai prolungamenti dei lati rimanenti del triangolo.

Proprio come le bisettrici interne anche le esterne sono equidistanti da entrambi i lati del vertice, anche se uno di questi è rappresentato da un suo prolungamento, è quindi ovvio che, in analogia all'incentro, pure il punto d'incontro di due bisettrici esterne sia dunque equidistante dal lato comune ai vertici ed ai prolungamenti dei lati rimanenti; così come non deve stupire il fatto che per tale punto passi pure la bisettrice interna del terzo vertice.

Teorema

Ogni bisettrice esterna interseca il prolungamento del lato opposto in un punto le cui distanze dagli estremi di questo stanno fra loro come i lati adiacenti.cite-ref-6[6]

È un teorema simile a quello della bisettrice interna, che afferma che data la bisettrice esterna del vertice mw7w A {\displaystyle A} questa incontra il prolungamento del lato opposto, mw8a B C , {\displaystyle BC,} in un punto mw8q H , {\displaystyle H,} tale che mw8g H C {\displaystyle HC} e mw8w H B {\displaystyle HB} stanno tra loro come i lati mw9a C A {\displaystyle CA} e mw9q A B . {\displaystyle AB.} Ossia:

mw-a C A : A B = H C : H B . {\displaystyle CA:AB=HC:HB.} cite-ref-7[7]

mw-gIl teorema non è, però, sempre applicabile, mentre, infatti, la sua validità può essere verificata per tutti e tre vertici di un mwaqetriangolo scaleno, nel caso dei mwaqitriangoli isosceli si limita ai soli angoli congruenti (in genere quelli alla base), poiché le due bisettrici esterne del terzo vertice sono parallelecite-ref-8[8] al lato opposto, ed è addirittura inapplicabile per i mwaqctriangoli equilateri.

cite-note-11. ↑ La costruzione della bisettrice è spiegata alla IX proposizione del I libro degli mwaq4Elementi

cite-note-22. ↑ Le bisettrici di un triangolo sono segmenti di bisettrici di angolo e perciò sono implicite le stesse proprietà di cui sopra.

cite-note-33. ↑ mwarumwarymwarc mwarg mwark mwaro mwarsA mwarwL mwar0C mwar4{\displaystyle ALC} e mwasamwasemwasi mwasm mwasq mwasu mwasyA mwascB mwasgL mwask{\displaystyle ABL} hanno la stessa altezza del triangolo originario rispetto alle basi mwassmwaswmwas0 mwas4 mwas8 mwata mwateL mwatiC mwatm{\displaystyle LC} e mwatumwatymwatc mwatg mwatk mwato mwatsL mwatwB mwat0; mwat4{\displaystyle LB;} considerando quindi mwauamwauemwaui mwaum mwauq mwauu mwauy mwaucA mwaug mwauk1 mwauo{\displaystyle A_{1}} e mwauwmwau0mwau4 mwau8 mwava mwave mwavi mwavmA mwavq mwavu2 mwavy{\displaystyle A_{2}} le loro basi si ha mwavgmwavkmwavo mwavs mwavw mwav0 mwav4 mwav8 mwawa mwaweA mwawi mwawm1 mwawq mwawuA mwawy mwawc2 mwawg= mwawk mwawo mwaws mwawwC mwaw0L mwaw4⋅ ⋅ mwaw8h mwaxa mwaxeL mwaxiB mwaxm⋅ ⋅ mwaxqh mwaxu= mwaxy mwaxc mwaxg mwaxkC mwaxoL mwaxs mwaxwL mwax0B mwax4{\displaystyle {A_{1} \over A_{2}}={CL\cdot h \over LB\cdot h}={CL \over LB}}

cite-note-44. ↑ Siccome la bisettrice è equidistante dai lati in ogni sui punto, in mwaymmwayqmwayu mwayy mwayc mwayg mwaykL mwayo{\displaystyle L} la distanza del vertice dai lati mwaywmway0mway4 mway8 mwaza mwaze mwaziA mwazmC mwazq{\displaystyle AC} e mwazymwazcmwazg mwazk mwazo mwazs mwazwA mwaz0B mwaz4, mwaz8{\displaystyle AB,} ora basi di mwaaemwaaimwaam mwaaq mwaau mwaay mwaacA mwaagL mwaakC mwaao{\displaystyle ALC} e mwaawmwaa0mwaa4 mwaa8 mwaba mwabe mwabiA mwabmB mwabqL mwabu{\displaystyle ABL} deve essere la stessa

cite-note-55. ↑ Il lato e il segmento che si trovano dalla stessa parte, destra o sinistra, rispetto alla bisettrice

cite-note-66. ↑ Il teorema è applicabile solamente alla bisettrice esterna dalla parte del lato più corto del vertice, in quanto solo da questa parte la bisettrice e il prolungamento sono convergenti.

cite-note-77. ↑ Nell'impostazione della relazione, occorre prestare attenzione a quale dei due lati è quello più corto, onde evitare di invertire erroneamente il rapporto fra le coppie di segmenti.

cite-note-88. ↑ Nel triangolo isoscele la bisettrice interna del vertice avente i lati uguali corrisponde con l'altezza; le bisettrici esterne dunque, essendo perpendicolari all'altezza, risultano parallele al lato opposto.

• mwacyIncentro

• mwacgTeorema della bisettrice

• mwacoPiano bisettore

• mwacwBisettrice di un angoloide

• mwac4Incentroide

Altri progetti

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• citereftreccani-itbisettrice, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-della-matematicabisettrice, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Angle Bisector, su MathWorld, Wolfram Research.